Составление логической схемы для выражений


Составление логической схемы для выражений
Составление логической схемы для выражений
Составление логической схемы для выражений
Составление логической схемы для выражений
Тема: Таблицы истинности. Логические схемы.

(конспект рассчитан на 2 академических часа)
Цели: сформировать навыки построения таблиц истинности; сформировать у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера; сформировать навыки построения логических схем.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

- этапы составления таблиц истинности;

- основные базовые элементы логических схем;

- правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

- составлять таблицы истинности;

- составлять логические схемы.

Тип урока – комбинированный.

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, карточки с заданиями, элементы для сборки электрических цепей, доска.
Ход урока

I. Постановка целей урока

1. Таблица истинности сложного логического выражения. Как ее правильно составить и использовать?

2. Каким образом алгебра логики связана с компьютером?

3. Почему компьютер не был изобретен раньше?
II. Проверка домашнего задания

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения.

Задание на карточках

1. Соедините правильные определения или обозначения:

1. Логика 1.А→В

2. Высказывание 2. Логическое сложение

3. Алгебра логики 3. Наука о формах и способах мышления

4. Логическая константа 4. Логическое отрицание

5. Дизъюнкция 5. ИСТИНА и ЛОЖЬ

6. Инверсия б.А↔В

7. Конъюнкция 7.&

8. Импликация 8. Наука об операциях над высказываниями

9. Эквивалентность 9. Повествовательное предложение, в кото

ром что-либо утверждается или отрицается

2. По мишеням произведено три выстрела. Рассмотрено высказывание: Pk = «Мишень поражена k-ым выстрелом», где k =1,2,3. Что означают следующие высказывания:

А) Р1+Р1+РЗ;

Б) Р1•Р2• РЗ;

В) Р1+Р2+Р3.


3. Даны высказывания: А = {3•3 = 9}, В = {3•3 =10}. Определите истинность высказываний:

1) А, 2) ¬В, 3)А&В, 4)В, 5)¬А, 6)AvB.


4. Даны высказывания А = {5+7=13}, В ={5+7=12}. Определите истинность высказываний:

1) А , 2) ¬В, 3) А&В, 4) В, 5) ¬А, 6) AvB.


5. Запишите логические выражения, соответствующие следующим высказываниям:

A) Ботаника изучает растения и ботаника изучает животных;

Б) В состав атома входят электроны или в состав электронов входят атомы;

B) Гелий - это жидкость и вода - это газ;

Г) Неверно, что положительный ион - это лишившийся электронов атом.


6. Запишите логические выражения, соответствующие следующим высказываниям:

A) Зоология изучает растения или ботаника изучает животных;

Б) Электрон - это часть атома и электроны есть в любом веществе;

B) Напряжение - это сила тока, умноженная на сопротивление;

Г) Неверно, что спутник - это летательный аппарат.

III. Изложение нового материала

1. Таблицы истинности

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности — таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражением при всех возможных наборах его переменных.

Для составления таблицы необходимо:


Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2n, где n - количество переменных).
Выяснить количество столбцов = количество переменных + количество логических операций.
Установить последовательность выполнения логических операций.
Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
Заполнить таблицу истинности по столбцам.
Пример 1

Построим таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(¬Av¬B).

Количество строк = 22 (2 переменных) + 1 (заголовки столбцов) = 5.

Количество столбцов = 2 логические переменные (А, В) + 5 логических операций { v, &, ¬, v, ¬) = 7.
Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 4 3
Построим таблицу:


А
В
A v B
¬А
¬В
¬AV¬B
(AvB)&(¬Av ¬B)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0

Пример 2

Построим таблицу истинности для логического выражения X v Y& ¬ Z.


Количество строк = 23+1 = 9.
Количество столбцов = 3 логические переменные + 3 логических операций = 6.
Укажем порядок действий: 3 2 1
X VY& ¬ Z
Нарисуем и заполним таблицу:
X
Y
Z
¬ Z
Y& ¬ Z
XVY& ¬Z
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1

2. Логические схемы

Над возможностями применения логики в технике ученые и инженеры задумывались уже давно. Например, голландский физик Пауль Эренфест (1880 - 1933), кстати несколько лет работавший в России, писал еще в 1910 году: «...Пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить:

1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции;

2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое «или-или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе - система чисто качественных... «посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности... правда ли, что, несмотря на существование алгебры логики, своего рода «алгебра распределительных схем» должна считаться утопией?». Созданная позднее М.А. Гавриловым 1903 — 1979) теория релейно-контактных схем показала, что это вовсе не утопия.

Посмотрим на микросхему. На первый взгляд ничего того, что нас удивило бы, мы не видим. Но если рассматривать ее при сильном увеличении она поразит нас своей стройной архитектурой. Чтобы понять, как она работает, вспомним, что компьютер работает на электричестве, то есть любая Информация представлена в компьютере в виде электрических импульсов. Поговорим о них.

С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет; электрический импульс есть или его нет; электрическое напряжение есть или его нет... В связи с этим поговорим о различных вариантах управления включением и выключением обыкновенной лампочки (лампочка также работает на электричестве). Для этого рассмотрим электрические контактные схемы, реализующие логические операции.

Пояснение: для наглядности приготовьте электрические схемы и продемонстрируйте их в действии. Для этого используйте: источник питания, лампочки, ключи, провода.

Схема 1. Схема. 2. Схема. 3. (автоматический ключ)

На рисунках контакты обозначены латинскими буквами А и В. Введем обозначения: 1 — контакт замкнут, 0 — контакт разомкнут. Цепь на схеме I с последовательным соединением контактов соответствует логической операции «И». Цепь на схеме 2 с параллельным соединением контактов соответствует логической операции «ИЛИ». Цепь на схеме 3 (электромагнитное реле) соответствует логической операции «НЕ».
Попросите детей приготовить в тетради таблицу:


Конъюнкция
Дизъюнкция
Инверсия

Заполняем ее по ходу объяснения материала.

Заполненная таблица


Конъюнкция

(Логическое умножение)

и


Дизъюнкция

(Логическое сложение)

или


Инверсия

(Логическое отрицание)

не



A
B
A&B
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
A
B
AvB
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0

A
0
1
1
0
Конъюнктор
Дизъюнктор
Инвертор

Докажем это, рассмотрев состояния схем при различных состояниях контактов.

Схема 1 (составляем в основной таблице таблицу истинности).


Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит,
Первый контакт в положении «вкл», второй - в положении «выкл». Ток не идет, лампочка не горит.
Обратная ситуация. Лампочка не горит.
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит. Вывод: первая схема действительно реализует логическую операцию «И».
Схема 2 (составляем в основной таблице таблицу истинности).
Оба контакта в положении «включено». Ток через лампочку идет и она горит.
Первый контакт в положении «вкл», второй - в положении «выкл». Ток идет, лампочка горит.
Обратная ситуация. Лампочка горит.
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.
Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «ИЛИ».

Схема 3 (составляем в основной таблице таблицу истинности).

В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ. Когда тока на нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на ключ подать напряжение, то вследствие явления электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.

Вывод: схема 3 действительно реализует логическую операцию «НЕ».

Недостатками контактных схем являлись их низкая надежность и быстродействие, большие размеры и потребление энергии. Поэтому попытка использовать такие схемы в ЭВМ не оправдала себя. Появление вакуумных и полупроводниковых приборов позволило создавать логические элементы с быстродействием от 1 миллиона переключений в секунду. Именно такие электронные схемы нашли свое применение в качестве элементной базы ЭВМ. Вся теория, изложенная для контактных схем, была перенесена на электронные схемы. Элементы, реализующие базовые логические операции, назвали базовыми логическими элементами или вентилями и характеризуются они не состоянием контактов, а наличием сигналов на входе и выходе элемента. Их названия и условные обозначения являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютера.

Пояснение: историю развития элементной базы компьютера смотрите в дополнительном материале.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом) таким образом становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо проще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техническое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

3. Построение логических схем

Правило построения логических схем:


Определить число логических переменных.
Определить количество базовых логических операций и их порядок.
3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.
Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.
Пример 1

Пусть X = истина, Y = ложь. Составить логическую схему для следующего логического выражения: F = XvY&X.


Две переменные — X и Y.
2) Две логические операции: 2 1

XvY&X.
3) Строим схему:

4) Ответ: l v 0 & 1= 1.
Пример 2

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению

F = X&Yv ¬(YvX). Вычислить значения выражения для X = 1, Y = 0.

1) Переменных две: X и Y;
2) Логических операций три: конъюнкция и две дизъюнкции: 1432

X&Yv¬(YvX).


Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

1

4) Вычислим значение выражения: F= l&0v¬ (0vl) = 0.

IV. Закрепление изученного

№1

Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений:

1) А&(ВvB&C)

2) Аv (В&BvC)
№2 Заполните пустые ячейки таблицы истинности:


А
B
C
CvA
(CvA)B
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1

Подвидение итогов:


Опрос: что нового узнали сегодня на уроке?
Д/З
Составление логической схемы для выражений Составление логической схемы для выражений Составление логической схемы для выражений Составление логической схемы для выражений Составление логической схемы для выражений

Тоже читают:



Пошлые поздравление с днем рождения лучшему другу от

Покрытие глазурью керамики своими руками

Поздравления с днем рождения женщине юбилей 60 лет короткие в прозе

Как сделать красивую объемную прическу с локонами

Прическа на средние волосы без укладки на каждый день